Question

7．已知$\overrightarrow{a}$=（sin（2x-$\frac{π}{3}$），1），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-1），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的周期及單調減區間．
（2）已知x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的數量積求出f（x），再求f（x）的周期和單調減區間；
（2）根據x∈[0，$\frac{π}{2}$]時2x-$\frac{π}{3}$的范圍，求出f（x）的最值即得值域．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（sin（2x-$\frac{π}{3}$），1），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-1），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1；
∴f（x）的周期為T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的單調減區間為[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，0≤2x≤π，
∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴f（x）的最小值為$\sqrt{3}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）-1=-$\frac{5}{2}$，
最大值為$\sqrt{3}$×1-1=$\sqrt{3}$-1，
∴f（x）的值域為[-$\frac{5}{2}$，$\sqrt{3}$-1]．

點評 本題考查了平面向量的數量積與三角函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．