Question

2．已知函數f（x）=$\frac{a}{3}$x³-$\frac{a+1}{2}$x²+x+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若函數y=f（x）的極小值為4，且在點x=$\frac{1}{3}$處取到極大值，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）當a＞0時，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據f（1）=4，f′（$\frac{1}{3}$）=0，得到關于a，b的方程組，解出即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=（ax-1）（x-1），f（1）=4，f′（$\frac{1}{3}$）=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{3}-\frac{a+1}{2}+1+b=4}\\{\frac{a}{9}-\frac{a+1}{3}+1=0}\end{array}\right.$，
解得：a=3，b=4，
∴f（x）=x³-2x²+x+4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）=（ax-1）（x-1），
（1）0＜a＜1時，$\frac{1}{a}$＞1，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，
（2）a=1時，f′（x）≥0，f（x）在R遞增，
（3）a＞1時，$\frac{1}{a}$＜1，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{a}$或x＞1，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{a}$＜x＜1，
故f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，1）遞減，在（1，+∞）遞增．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．