Question

13．已知g（x）=x²-2ax+1在區間[1，3]上的值域[0，4]．
（1）求a的值；
（2）若不等式g（2^x）-k•4^x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）若函數$y=\frac{{g（|{2^x}-1|）}}{{|{2^x}-1|}}+k•\frac{2}{{|{2^x}-1|}}-3k$有三個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對g（x）配方，求出對稱軸x=a，討論若1≤a≤3時，若a＞3時，若a＜1，由單調性可得最小值，解方程，即可得到所求a的值；
（2）由題意可得（2^x）²-2•2^x+1-k•4^x≥0，化為k≤（2^-x）²-2•2^-x+1，令t=2^-x，求出t的范圍，求得右邊函數的最小值即可得到k的范圍；
（3）令y=0，可化為|2^x-1|²-2•|2^x-1|+1+2k-3k•|2^x-1|=0（|2^x-1|≠0）有3個不同的實根．令t=|2^x-1|，討論t的范圍和單調性，t²-（3k+2）t+1+2k=0有兩個不同的實數解t₁，t₂，已知函數有3個零點等價為0＜t₁＜1，t₂＞1或0＜t₁＜1，t₂=1，記m（t）=t²-（3k+2）t+1+2k，由二次函數圖象可得不等式組，解不等式可得k的范圍．

解答 解：（1）g（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²在區間[1，3]上的值域[0，4]．
若1≤a≤3時，g（x）的最小值為g（a）=1-a²，
由1-a²=0，可得a=1（-1舍去），g（x）=（x-1）²滿足在區間[1，3]上的值域[0，4]；
若a＞3時，g（x）在[1，3]遞減，g（x）的最小值為g（3），
由g（3）=10-6a=0，解得a=$\frac{5}{3}$（舍去）；
若a＜1，則g（x）在[1，3]遞增，g（x）的最小值為g（1），
由g（1）=2-2a=0，解得a=1．
綜上可得，a=1；
（2）由g（2^x）-k•4^x≥0即（2^x）²-2•2^x+1-k•4^x≥0，
化為k≤（2^-x）²-2•2^-x+1，令t=2^-x，由x≥1可得0＜t≤$\frac{1}{2}$，
則k≤t²-2t+1，0＜t≤$\frac{1}{2}$，
記h（t）=t²-2t+1，0＜t≤$\frac{1}{2}$，由單調遞減，可得h（t）的最小值為（$\frac{1}{2}$-1）²=$\frac{1}{4}$，
則k的取值范圍是k≤$\frac{1}{4}$；
（3）令y=0，可化為|2^x-1|²-2•|2^x-1|+1+2k-3k•|2^x-1|=0（|2^x-1|≠0）有3個不同的實根．
令t=|2^x-1|，則t＞0，由2^x-1＞-1，當x＜0時，t=|2^x-1|=1-2^x，t∈（0，1]且遞減，
當0＜x＜1時，t=|2^x-1|=2^x-1，t∈（0，1）且遞增，
當x=1時，t=1．當x＞1時，t=|2^x-1|=2^x-1，t∈（1，+∞）且遞增，
t²-（3k+2）t+1+2k=0有兩個不同的實數解t₁，t₂，
已知函數有3個零點等價為0＜t₁＜1，t₂＞1或0＜t₁＜1，t₂=1，
記m（t）=t²-（3k+2）t+1+2k，則$\left\{\begin{array}{l}{2k+1＞0}\\{m（1）=-k＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=2k+1＞0}\\{h（1）=-k=0}\\{0＜\frac{3k+2}{2}＜1}\end{array}\right.$，
解得k＞0或k無實數解，
綜上可得，k的取值范圍是（0，+∞）．

點評 本題考查二次函數在閉區間上最值問題，注意對稱軸和區間的關系，考查不等式恒成立問題解法，注意運用參數分離和構造函數法，考查函數零點問題，注意轉化思想運用，考查分類討論思想方法運用，以及運算化簡能力，屬于難題．