Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-2，4），$\overrightarrow{b}$=（-1，-2）．
（1）求$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角的余弦值；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$與2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的數量積與夾角公式，即可求出兩向量夾角的余弦值；
（2）根據平面向量的坐標運算與兩向量垂直，數量積為0，列出方程求出λ的值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（-2，4），$\overrightarrow{b}$=（-1，-2），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-2×（-1）+4×（-2）=-6，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{（-2）}^{2}{+4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（-1）}^{2}{+（-2）}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
∴$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夾角的余弦值為
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-6}{2\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=-$\frac{3}{5}$；
（2）∵$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$=（-2，4）-（-λ，-2λ）=（λ-2，2λ+4），
2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（-4，8）+（-1，-2）=（-5，6）；
又向量$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$與2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$-2λ$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=-5（λ-2）+6（2λ+4）=0，
解得λ=-$\frac{34}{7}$．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算與夾角公式的應用問題，是基礎題目．