Question

15．已知復數z滿足（3+4i）z=5i²⁰¹⁶（i為虛數單位），則|z|=1．

Answer 1

分析 由（3+4i）z=5i²⁰¹⁶，得$z=\frac{5{i}^{2016}}{3+4i}$，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡復數z，再由復數求模公式計算得答案．

解答 解：由（3+4i）z=5i²⁰¹⁶，
得$z=\frac{5{i}^{2016}}{3+4i}$=$\frac{5（{i}^{4}）^{504}}{3+4i}=\frac{5}{3+4i}=\frac{5（3-4i）}{（3+4i）（3-4i）}$=$\frac{3-4i}{5}=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$，
則|z|=$\sqrt{（\frac{3}{5}）^{2}+（-\frac{4}{5}）^{2}}=1$．
故答案為：1．

點評 本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是基礎題．