Question

4．對于正整數k，記g（k）表示k的最大奇數因數．例如：g（1）=1，g（2）=1，g（10）=5．設S_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）
給出下列四個結論：
①g（3）+g（4）=10
②?m∈N^*，都有g（2m）=g（m）
③S₁+S₂+S₃=30
④S_n-S_n-1=4^n-1，n≥2，n∈N^*
則以上結論正確有②③④．（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

分析 根據已知中g（k）表示k的最大奇數因數，S_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）．逐一分析四個結論的真假，可得答案

解答 解：∵g（k）表示k的最大奇數因數，S_n=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）．
∴①g（3）+g（4）=3+1=4≠10，故錯誤；
②?m∈N^*，都有g（2m）=g（m），故正確；
③S₁+S₂+S₃=（1+1）+（1+1+3+1）+（1+1+3+1+5+3+7+1）=30，故正確；
④當n≥2時，Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2^n-1）+g（2ⁿ）
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2^n-1）]
=$\frac{（1+{2}^{n}-1）×{2}^{n-1}}{2}$+[g（1）+g（2）+…+g（2^n-1）]=4^n-1+S_n-1，
于是S_n-S_n-1=4^n-1，n≥2，n∈N^*．故正確；
故答案為：②③④．

點評 本題考查新定義，考查數列的求和，解題的關鍵是正確理解新定義，正確求數列的和是關鍵．