Question

14．已知橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），短軸長為2，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求此橢圓的標準方程；
（2）已知任一橢圓在其上面的點（x₀，y₀）處的切線方程均可寫為$\frac{x{x}_{0}}{{a}^{2}}$+$\frac{y{y}_{0}}{{b}^{2}}$=1，設P是圓x²+y²=16上任意一點，過P作橢圓C的切線PA，PB，切點分別為A，B，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最值．

Answer 1

分析 （1）由已知得b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a²，b²即可，
（2）設P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用橢圓的一點（x₀，y₀）處的切線方程：$\frac{x{x}_{0}}{{a}^{2}}$+$\frac{y{y}_{0}}{{b}^{2}}$=1，出直線PA，PB的方程，進而得到AB的方程為$\frac{mx}{4}$+ny=1．代入橢圓方程，利用數量積公式，以及韋達定理，化簡整理，結合P是圓x²+y²=16上任意一點，即可求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最值．

解答 解：（1）由已知得b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a²=4，b²=1，橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）：設P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵橢圓的一點（x₀，y₀）處的切線方程：$\frac{x{x}_{0}}{{a}^{2}}$+$\frac{y{y}_{0}}{{b}^{2}}$=1，∴A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）處的切線方程分別為：$\frac{{x}_{1}x}{4}+{y}_{1}y=1$，$\frac{{x}_{2}x}{4}+{y}_{2}y=1$
P（m，n）在兩條切線上，∵$\frac{{x}_{1}m}{4}+{y}_{1}n=1$，$\frac{{x}_{2}m}{4}+{y}_{2}n=1$．
∴AB的方程為：$\frac{mx}{4}$+ny=1．代入橢圓方程可得（4n²+m²）x²-8mx+（16-16n²）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8m}{4{n}^{2}+{m}^{2}}$，x₁x₂₌$\frac{16-16{m}^{2}}{4{n}^{2}+{m}^{2}}$
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）+y₁y₂-n（y₁+y₂）+n²
=x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）+$\frac{（4-m{x}_{1}）（4-m{x}_{2}）}{16}$-$\frac{8-m（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+n²
=m²+n²-6+$\frac{20-3{m}^{2}}{4{n}^{2}+{m}^{2}}$，
∵m²+n²=16，∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=11-$\frac{44}{3{n}^{2}+16}$，
則當n²=0，即P（±4，0）時，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$有最小值$\frac{33}{4}$
當n²=16，即P（0，±4時，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$有最大值$\frac{165}{11}$，

點評 本題綜合考查橢圓的方程及其應用、直線與橢圓的位置關系，考查聯立直線方程和橢圓方程，消去未知數，運用韋達定理解題，同時考查了學生的基本運算能力、運算技巧、邏輯推理能力，屬于中檔題．