Question

10．在平面直角坐標系xOy中，已知$x_1^2-ln{x_1}-{y_1}=0$，x₂-y₂-2=0，則${（{x_2}-{x_1}）^2}+{（{y_2}-{y_1}）^2}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 化簡已知條件，得到兩個函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)求出切線的斜率，利用平行線之間的距離求解即可．

解答 解：∵$x_1^2-ln{x_1}-{y_1}=0$，x₂-y₂-2=0，
∴y₁=x₁²-lnx₁，并且x₂-y₂-2=0，
（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值轉化為：
函數(shù)y=x²-lnx圖象上的點與x-y-2=0圖象上的點的距離的最小值，
由y=x²-lnx，得y′=2x-$\frac{1}{x}$．與直線x-y-2=0平行的直線的斜率為1，
所以2x-$\frac{1}{x}$=1，解得x=1，或x=-$\frac{1}{2}$，（舍）
切點坐標（1，1），與x-y-2=0平行的直線為：y-1=x-1，即x-y=0，
x-y-2=0與x-y=0之間的距離的平方即為${（{x_2}-{x_1}）^2}+{（{y_2}-{y_1}）^2}$的最小值，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值為：（$\frac{|2|}{\sqrt{1+1}}$）²=2．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的最值，考查計算能力以及轉化思想．