Question

（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ的展開式中所有奇次項系數的和為

 

．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：令（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，利用賦值法，當x=1與x=-1時得到兩個關系式，聯立二式可求得奇次項系數的和．

解答： 解：令（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
其中a₁、a₃、a₅、…被稱為奇次項系數，
令x=1，得（a₀+a₂+a₄+…）+（a₁+a₃+a₅+…）=2+2²+…+2ⁿ，①
令x=-1，得（a₀+a₂+a₄+…）-（a₁+a₃+a₅+…）=0，②
①-②得：2（a₁+a₃+a₅+…）=2+2²+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2（2ⁿ-1），
所以，a₁+a₃+a₅+…=2ⁿ-1，
即展開式中所有奇次項系數的和為：2ⁿ-1．
故答案為2ⁿ-1

點評：本題考查二項式系數的性質，令（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，賦值x=±1是關鍵，考查轉化思想．