Question

14．設函數f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x．
（1）求函數f（x）的最小周期；
（2）設函數g（x）對任意x∈R，有g（x+$\frac{π}{2}$）=g（x），且當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x）．求函數g（x）在[-π，0]上的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期．
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x）．在討論x∈[$-\frac{π}{2}$，0]時，g（x）的解析式，在函數g（x）在[-π，0]上的解析式．

解答 解：（1）函數f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x
化簡可得：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos2xcos$\frac{π}{4}$-sin2xsin$\frac{π}{4}$+sin²x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x$+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2x
∴函數f（x）的最小周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x）．即g（x）=$\frac{1}{2}-$（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$sin2x）=$\frac{1}{2}$sin2x．
當x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，由于g（x+$\frac{π}{2}$）=g（x），
則（x+$\frac{π}{2}$）∈[0，$\frac{π}{2}$]
那么：g（x）=$\frac{1}{2}$sin2（x+$\frac{π}{2}$）=$-\frac{1}{2}$sin2x．
當x∈[-π，-$\frac{π}{2}$]時，則（x+π）∈[0，$\frac{π}{2}$]
可得：g（x）=$\frac{1}{2}$sin2（x+π）=$\frac{1}{2}$sin2x．
∴函數g（x）在[-π，0]上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}sin2x，（-\frac{π}{2}＜x≤0）}\\{\frac{1}{2}sin2x，（-π≤x≤\frac{π}{2}）}\end{array}\right.$

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，以及分段函數的解析式的求法．利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．