Question

20．已知函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{e}，x＜0\\ \frac{x}{e^x}，x≥0\end{array}\right.$，若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）（x₁＜x₂＜x₃），則$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$的取值范圍為（-1，0）．

Answer 1

分析 利用導數法，分析函數的單調性及極值，可得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）∈（0，$\frac{1}{e}$），即有-$\frac{2}{e}$＜x₁＜-$\frac{1}{e}$，可得$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=1+$\frac{2}{e{x}_{1}}$，計算即可得到所求范圍．

解答 解：函數$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{2}{e}，x＜0\\ \frac{x}{e^x}，x≥0\end{array}\right.$，
∴函數f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＜0}\\{\frac{1-x}{{e}^{x}}，x≥0}\end{array}\right.$，
故當x＜0時，函數為增函數，且f（x）＜$\frac{2}{e}$，
當0≤x＜1時，函數為增函數，且0≤f（x）＜$\frac{1}{e}$，
當x≥1時，函數為減函數，且0＜f（x）≤$\frac{1}{e}$，
若f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）（x₁＜x₂＜x₃），
則f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）∈（0，$\frac{1}{e}$），
即-$\frac{2}{e}$＜x₁＜-$\frac{1}{e}$，
故$\frac{{f（{x_2}）}}{x_1}$=$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=1+$\frac{2}{e{x}_{1}}$∈（-1，0），
故答案為：（-1，0）．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，利用導數法研究函數的單調性，考查不等式的性質，難度中檔．