Question

15．已知函數f（x）=|x+a|+|x+$\frac{1}{a}$|（a＞0，m∈R，m≠0）．
（1）當a=2時，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）證明：$f（m）+f（{-\frac{1}{m}}）≥4$．

Answer 1

分析 （1）討論x的范圍，去絕對值符號化簡不等式解出；
（2）利用絕對值三角不等式證明．

解答 （1）解：當a=2時，不等式f（x）＞3即為|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|＞3．
當x＜-2時，不等式為：$-x-2-x-\frac{1}{2}＞3$，解得$x＜-\frac{11}{4}$；
當$-2≤x＜-\frac{1}{2}$時，不等式為：$x+2-x-\frac{1}{2}＞3$，無解；
當$x≥-\frac{1}{2}$時，不等式為：$x+2+x+\frac{1}{2}＞3$，解得$x＞\frac{1}{4}$．
綜上，不等式f（x）＞3的解集為$\left\{{x|x＜-\frac{11}{4}或x＞\frac{1}{4}}\right\}$．
（2）證明：f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=|m+a|+|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}+a$|+|-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|
≥|m+a+m+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{m}$-a+$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{a}$|=2|m+$\frac{1}{m}$|，
∵|m+$\frac{1}{m}$|=|m|+|$\frac{1}{m}$|≥2，
∴2|m+$\frac{1}{m}$|≥4，
即f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）≥4．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，絕對值三解不等式的應用，屬于中檔題．