Question

9．計算下列各式的值
（1）$\frac{A_8^8-A_9^5}{2A_8^5+4A_8^4}$
（2）$C_{3n}^{9-n}+C_8^{2n+1}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由排列數公式化簡$\frac{A_8^8-A_9^5}{2A_8^5+4A_8^4}$可得$\frac{A_8^8-A_9^5}{2A_8^5+4A_8^4}$=$\frac{4!-9}{8+4}$，計算即可得答案；
（2）根據題意，由組合數的意義可得$\left\{\begin{array}{l}{2n+1≤8}\\{9-n≥0}\\{9-n≤3n}\end{array}\right.$，解可得n的值，代入組合數公式中即可得答案．

解答 解：（1）$\frac{A_8^8-A_9^5}{2A_8^5+4A_8^4}$=$\frac{8!-\frac{9!}{4!}}{2×\frac{8!}{3!}+4×\frac{8!}{4!}}$=$\frac{4!×8!-9!}{8×8!+4×8!}$=$\frac{4!-9}{8+4}$=$\frac{5}{4}$，
（2）對于$C_{3n}^{9-n}+C_8^{2n+1}$，有$\left\{\begin{array}{l}{2n+1≤8}\\{9-n≥0}\\{9-n≤3n}\end{array}\right.$，
又由n為正整數，
解可得n=3，
故$C_{3n}^{9-n}+C_8^{2n+1}$=C₉⁶+C₈⁷=92．

點評 本題考查排列、組合數公式，（2）的關鍵是求出n的值．