Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之間的直角距離為L（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
已知點(diǎn)A（x，1），B（1，2），C（5，3）．
（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈R時，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定義問題轉(zhuǎn)化為解不等式|x-1|-|x-5|＞1，通過討論x的范圍，求出不等式的解集即可；
（2）分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為t≥|x-1|-|x-5|-1恒成立，令f（x）=|x-1|-|x-5|，求出f（x）的最大值，從而求出t的最小值即可．

解答 解：（1）由定義得|x-1|+1＞|x-5|+2，即|x-1|-|x-5|＞1，
當(dāng)x≥5時，不等式化為4＞1，解得x≥5；
當(dāng)1＜x＜5時，不等式化為2x-6＞1，解得$\frac{7}{2}＜x＜5$；
當(dāng)x≤1時，不等式化為-4＞1，無解；  故不等式的解集為$（\frac{7}{2}，+∞）$
（2）當(dāng)x∈R時，不等式|x-1|+1≤t+|x-5|+2恒成立，也就是t≥|x-1|-|x-5|-1恒成立，
函數(shù)令$f（x）=|{x-1}|-|{x-5}|=\left\{{\begin{array}{l}{-4，x≤1}\\{2x-6，1＜x≤5}\\{4，x＞5}\end{array}}\right.$，所以f（x）_max=4，
要使原不等式恒成立只要t≥3即可，故t_min=3．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．