Question

3．已知a_n=n²cos（nπ）-2nsin²（$\frac{nπ}{2}$），則a₁+a₂+a₃+…+₁₀₀=（　�。�

• A． -5050
• B． 10100
• C． 50
• D． 100

Answer 1

分析 先求出分段函數f（n）的解析式，進一步給出數列的通項公式，再使用分組求和法，求解．

解答 解：∵a_n=n²cos（nπ）-2nsin²（$\frac{nπ}{2}$），
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}-2n，n為奇數}\\{{n}^{2}，n為偶數}\end{array}\right.$，
∴a₁+a₂+a₃+…+₁₀₀=2²-1²+4²-3²+6²-5²+…+100²-99²-2（1+3+5+7+…+99）
=1+2+3+4+5+6+…+99+100-2（1+3+5+7+…+99）
=$\frac{100}{2}$（1+100）-2×$\frac{50}{2}（1+99）$
=5050-5000
=50．
故選：C．

點評 本題考查數列的前100項和的求法，考查分段數列的求和等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．