Question

10．已知a＞0，b＞0，函數f（x）=|x+a|+|2x-b|的最小值為1．
（1）求2a+b的值；
（2）若a+2b≥tab，求實數t的最大值．

Answer 1

分析 （1）法一：根據絕對值的性質求出f（x）的最小值，從而求出2a+b的值即可；法二：根據函數的單調性求出f（x）的最小值，從而求出答案；
（2）法一：根據基本不等式的性質求出t的最大值即可；法二：分離參數t，根據不等式的性質求出t的最大值即可．

解答 解：（1）法一：$f（x）=|{x+a}|+|{2x-b}|=|{x+a}|+|{x-\frac{b}{2}}|+|{x-\frac{b}{2}}|$，
∵$|{x+a}|+|{x-\frac{b}{2}}|≥|{（{x+a}）-（{x-\frac{b}{2}}）}|=a+\frac{b}{2}$且$|{x-\frac{b}{2}}|≥0$，
∴$f（x）≥a+\frac{b}{2}$，當$x=\frac{b}{2}$時取等號，即f（x）的最小值為$a+\frac{b}{2}$，
∴$a+\frac{b}{2}=1，2a+b=2$；
法二：∵$-a＜\frac{b}{2}$，
∴$f（x）=|{x+a}|+|{2x-b}|=\left\{{\begin{array}{l}{-3x-a+b，x＜-a}\\{-x+a+b，-a≤x＜\frac{b}{2}}\\{3x+a-b，x≥\frac{b}{2}}\end{array}}\right.$，
顯然f（x）在$（{-∞，\frac{b}{2}}]$上單調遞減，在$[{\frac{b}{2}，+∞}）$上單調遞增，
∴f（x）的最小值為$f（{\frac{b}{2}}）=a+\frac{b}{2}$，∴$a+\frac{b}{2}=1，2a+b=2$；
（2）法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴$\frac{a+2b}{ab}≥t$恒成立，
$\frac{a+2b}{ab}=\frac{1}{b}+\frac{2}{a}=（{\frac{1}{b}+\frac{2}{a}}）（{2a+b}）•\frac{1}{2}=\frac{1}{2}（{1+4+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{c}}）≥\frac{1}{2}（{1+4+2\sqrt{\frac{2a}{b}•\frac{2b}{a}}}）=\frac{9}{2}$，
當$a=b=\frac{2}{3}$時，$\frac{a+2b}{ab}$取得最小值$\frac{9}{2}$，∴$\frac{9}{2}≥t$，即實數t的最大值為$\frac{9}{2}$；
法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴$\frac{a+2b}{ab}≥t$恒成立，
$t≤\frac{a+2b}{ab}=\frac{1}{b}+\frac{2}{a}$恒成立，$\frac{1}{b}+\frac{2}{a}=\frac{1}{b}+\frac{4}{2a}≥\frac{{{{（{1+2}）}^2}}}{b+2a}=\frac{9}{2}$，
∴$\frac{9}{2}≥t$，即實數t的最大值為$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查函數的單調性以及基本不等式的性質，考查分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．