Question

1．為了解春季晝夜溫差大小與某種子發芽多少之間的關系，分別記錄了4月1日至4月5日每天的晝夜溫差與每天100顆種子浸泡后的發芽數，得到如下表格：

日期	4月1日	4月2日	4月3日	4月4日	4月5日
溫差x°C	12	11	13	10	8
發芽率y顆	26	25	30	23	16

（1）從這5天中任選2天，求至少有一天種子發芽數超過25顆的概率；
（2）請根據4月1日、4月2日、4月3日這3天的數據，求出y關于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（3）根據（2）中所得的線性回歸方程，預測溫差為16°C時，種子發芽的顆數．
參考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x．

Answer 1

分析 （1）利用對立事件的概率計算所求的概率值；
（2）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數$\widehat{b}$，$\widehat{a}$，寫出回歸方程；
（3）利用回歸方程，計算x=16時$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）從這5天中任選2天，至少有一天種子發芽數超過25顆的概率為
P=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$；
（2）請根據4月1日、4月2日、4月3日這3天的數據，
計算$\overline{x}$=$\frac{1}{3}$×（12+11+13）=12，
$\overline{y}$=$\frac{1}{3}$×（26+25+30）=27，
回歸系數為$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$=$\frac{12×26+11×25+13×30-3×12×27}{{12}^{2}{+11}^{2}{+13}^{2}-3{×12}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=27-$\frac{5}{2}$×12=-3，
∴y關于x的線性回歸方程為$\widehat{y}$=$\frac{5}{2}$x-3；
（3）根據（2）中所得的線性回歸方程，計算x=16時，$\widehat{y}$=$\frac{5}{2}$×16-3=37；
即預測溫差為16°C時，種子發芽的顆數為37．

點評 本題考查了線性回歸直線方程的求法與應用問題，是基礎題．