Question

15．對(duì)于所有實(shí)數(shù)x，不等式x²log₂$\frac{4（a+1）}{a}$+2xlog₂$\frac{2a}{a+1}$+log2$\frac{（a+1）^{2}}{4{a}^{2}}$＞0恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，+∞）
• C． （0，1]
• D． （-1，0）

Answer 1

分析 設(shè)$t={log_2}\frac{2a}{a+1}$，問題轉(zhuǎn)化為“當(dāng)t為何值時(shí)，不等式（3-t）x²+2tx-2t＞0恒成立”，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：因?yàn)?{log_2}\frac{2a}{a+1}$的值隨著參數(shù)a的變化而變化，若設(shè)$t={log_2}\frac{2a}{a+1}$，
則上述問題實(shí)質(zhì)是“當(dāng)t為何值時(shí)，不等式（3-t）x²+2tx-2t＞0恒成立”．
這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題，
等價(jià)于求解關(guān)于t的不等式組：$\left\{\begin{array}{l}3-t＞0\\△={（2t）^2}+8t（3-t）＜0\end{array}\right.$，
 解得t＜0，即有${log_2}\frac{2a}{a+1}＜0$，易得0＜a＜1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．