Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{5}|x-3|，（x≠3）}\\{3，（x=3）}\end{array}\right.$，若函數(shù)F（x）=f²（x）+bf（x）+c有五個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，…，x₅，則f（x₁+x₂+…+x₅）=log₅12．

Answer 1

分析 由函數(shù)的解析式可得，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，再由題意可得，五個(gè)不等實(shí)根x₁，x₂，…，x₅，有一個(gè)是3，其余4個(gè)關(guān)于直線x=3對(duì)稱，故有x₁+x₂+…+x₅=15，再根據(jù) f（x₁+x₂+…+x₅）=f（15），運(yùn)算求得結(jié)果．

解答 解：∵已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{5}|x-3|，（x≠3）}\\{3，（x=3）}\end{array}\right.$，故有f（3）=3．
根據(jù)當(dāng)x＞3時(shí)，f（x）=log₅（x-3），當(dāng)x＜3時(shí)，f（x）=log₅（3-x），
畫出函數(shù)圖象，如圖所示，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱．
再根據(jù)關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有五個(gè)不等實(shí)根x₁，x₂，…，x₅，
f（x）=3時(shí)，方程f（x）=3有3個(gè)根，當(dāng)f（x）=t，（t≠3）時(shí)，方程有2個(gè)不同的根，
∵關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）-3=0有五個(gè)不等實(shí)根x₁，x₂，…，x₅，有一個(gè)是3，其余4個(gè)關(guān)于直線x=3對(duì)稱
∴x₁+x₂+…+x₅ =15，
∴f（x₁+x₂+…+x₅）=f（15）=log₅12
故答案為  log₅12．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于x=3對(duì)稱，得出5個(gè)根也關(guān)于直線x=3對(duì)稱，從而求得x₁+x₂+…+x₅ ，屬于中檔題．