Question

11．如圖，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為6，∠C₁BC的正切值為$\frac{1}{3}$，當AB+AD+AA₁的值最小時，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的表面積（　　）

• A． 10π
• B． 12π
• C． 14π
• D． 16π

Answer 1

分析 先根據條件求出長方體的三條棱長，再求出長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的直徑，即可得出結論．

解答 解：由題意設AA₁=x，AD=y，則AB=3x，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為6，
∴xy•3x=6，
∴y=$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∴AB+AD+AA₁=4x+$\frac{2}{{x}^{2}}$≥3$\root{3}{2x•2x•\frac{2}{{x}^{2}}}$=6，
當且僅當2x=$\frac{2}{{x}^{2}}$，即x=1時，取得最小值，
∴長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的直徑為$\sqrt{1+4+9}$=$\sqrt{14}$，
∴長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的表面積=14π，
故選C．

點評 本題考查長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁外接球的表面積，考查體積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．