Question

3．已知函數f（x）=ax³-3x²+1，a∈R．
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）若方程f（x）=-3x²-3x+2恰有一個實數根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間和極值即可；
（2）問題轉化為方程$\frac{1}{x^3}-\frac{3}{x^2}=a$恰有一個實數根，令$\frac{1}{x}=t（{t∈R，\;t≠0}）$，則t³-3t²=a，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x³-3x²+1，∴f'（x）=3x²-6x=3x（x-2）…（1分）
令f'（x）=0，解得x=0或x=2，f'（x），f（x）的變化情況如下表：…（4分）

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	1	↘	-3	↗

∴f（x）的單調遞增區間為（-∞，0），（2，+∞），單調遞減區間為（0，2）…5分
當x=0時，極大值為1，當x=2時，極小值為-3   …（6分）
（2）方程f（x）=-3x²-3x+2即方程ax³=-3x+1，∵x=0顯然不是方程的根，
∴ax³=-3x+1恰有一個實數根，即方程$\frac{1}{x^3}-\frac{3}{x^2}=a$恰有一個實數根 …（8分）
令$\frac{1}{x}=t（{t∈R，\;t≠0}）$，則t³-3t²=a，令g（t）=t³-3t²（t≠0）
由（1）可知，函數g（t）的單調遞增區間為（-∞，0），（2，+∞），單調遞減區間為（0，2）…（10分）
∵方程t³-3t²=a恰有一個實數根，考慮到t≠0，∴a≥g（0）=0或a＜g（2）=-4
即所求a的取值范圍是a≥0或a＜-4…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及換元思想，是一道中檔題．