Question

已知.

（1）求函數(shù)在上的最小值；

（2）對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明：對一切，都有成立.

 

Answer 1

（1）.（2）.（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）遵循“求導數(shù)，求駐點，討論單調(diào)性，確定最值.”即得.

（2）由，轉(zhuǎn)化得到，

只需求的最小值，

使.

（3）問題等價于證明，

由（1）可知的最小值是，當且僅當時取到.

設，應用導數(shù)可知

，當且僅當時取到，

從而對一切，都有成立.

試題解析：（1）.

當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增 2分

，即時，； 4分

，即時，在上單調(diào)遞增，．

所以. 4分

（2），則，

設，則， 6分

①單調(diào)遞減，②單調(diào)遞增，

所以，對一切恒成立，

所以. 8分

（3）問題等價于證明，

由（1）可知的最小值是，當且僅當時取到 10分

設，則，易知

，當且僅當時取到，

從而對一切，都有成立. 12分

考點：應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式恒成立問題.