Question

8．已知函數$f（x）=\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$．
（1）當a=2時，求函數f（x）在區間[2，+∞）上的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），$x•f（x）＞\frac{2a+6}{|a|}$恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，函數$f（x）=x+\frac{2}{x}+2，x∈[2，+∞）$．f（x）在[2，+∞）上是增函數，所以最小值為f（2）．
（2）在區間[1，+∞）上，$xf（x）={x^2}+2x+a＞\frac{2a+6}{|a|}$恒成立．令g（x）=x²+2x+a，x≥1，而函數g（x）在[1，+∞）上是增函數，則g（x）的最小值為g_min（x）=3+a．

解答 解：（1）當a=2時，函數$f（x）=x+\frac{2}{x}+2，x∈[2，+∞）$．
f（x）在[2，+∞）上是增函數．
所以f（x）在區間[2，+∞）上的最小值為f（2）=5．                               
（2）在區間[1，+∞）上，$xf（x）={x^2}+2x+a＞\frac{2a+6}{|a|}$恒成立．
令g（x）=x²+2x+a，x≥1，而函數g（x）在[1，+∞）上是增函數，
則g（x）的最小值為g_min（x）=3+a，
所以當且僅當$3+a＞\frac{2a+6}{|a|}$時恒成立，所以a＞2或-3＜a＜-2．

點評 本題主要考查了導數研究函數單調性，以及導數在恒成立問題中的應用，屬中等題．