Question

20．已知圓C的極坐標方程為ρ=2，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，若直線 l：$\left\{\begin{array}{l}kx=-2+t\\ 2y=-2-2t\end{array}$（t為參數）與圓C相切．求
（1）圓C的直角坐標方程； 
（2）實數k的值．

Answer 1

分析 （1）由圓C的極坐標方程為ρ=2，利用互化公式可得圓C的直角坐標方程．
（2）直線 l：$\left\{\begin{array}{l}kx=-2+t\\ 2y=-2-2t\end{array}$（t為參數）化為普通方程：kx+y+3=0，利用直線與圓C相切的充要條件、點到直線的距離公式即可得出．

解答 解：（1）由圓C的極坐標方程為ρ=2，可得圓C的直角坐標方程為：x²+y²=4．
（2）直線 l：$\left\{\begin{array}{l}kx=-2+t\\ 2y=-2-2t\end{array}$（t為參數）化為普通方程：kx+y+3=0，由直線與圓C相切．
∴$\frac{|0+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$±\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓C相切的充要條件、點到直線的距離公式即可得出，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．