Question

9．過△ABC所在平面α外一點(diǎn)P作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC．
①若PA=PB=PC，則點(diǎn)O是P的外心；
②若點(diǎn)P到△ABC三邊所在直線的距離都相等，則點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心；
③若PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，則點(diǎn)O是△ABC的垂心；
④若PA，PB，PC與平面α所成的角都相等，則點(diǎn)O是△ABC的外心；
上面選項(xiàng)中正確的序號是①③④．

Answer 1

分析 ①點(diǎn)P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足為O，若PA=PB=PC，可證得△POA≌△POB≌△POC，從而證得OA=OB=OC，符合這一性質(zhì)的點(diǎn)O是△ABC外心；
②點(diǎn)P到△ABC的三邊距離相等，可得O到三邊的距離相等；
③連接AO并延長交BC于一點(diǎn)E，連接PO，由于PA，PB，PC兩兩垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC?面PBC，可得BC⊥PA，由PO⊥平面ABC于O，BC?面ABC，PO⊥BC，可得BC⊥AE，同理可以證明才CH⊥AB，又BH⊥AC．故H是△ABC的垂心；
④），∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O為三角形的外心．

解答 解：①點(diǎn)P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足為O，若PA=PB=PC，
故△POA，△POB，△POC都是直角三角形
∵PO是公共邊，PA=PB=PC
∴△POA≌△POB≌△POC
∴OA=OB=OC
故O是△ABC外心，正確；
②∵點(diǎn)P到△ABC的三邊距離相等，
∴O到三邊的距離相等，
∴P點(diǎn)在平面ABC上的射影是△ABC的內(nèi)心，故正確；
③連接AO并延長交BC于一點(diǎn)E，連接PO，由于PA，PB，PC兩兩垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC?面PBC，∴BC⊥PA，
∵PO⊥平面ABC于O，BC?面ABC，∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，∵AE?面APE，∴BC⊥AE；
同理可以證明才CH⊥AB，又BH⊥AC．
∴H是△ABC的垂心．
④∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O為三角形的外心，正確．
故答案為①③④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查空間直線與平面、平面與平面平行與垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力，屬于中檔題．