Question

18．四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為AD的中點，四邊形ABCE為菱形，∠BAD=120°，G、F分別是線段CE，PB上的動點，且滿足$\frac{PF}{PB}=\frac{CG}{CE}=λ∈（0，1）$
（1）求證：FG∥平面PDC；
（2）求λ的值，使得平面PAG⊥平面PCE．

Answer 1

分析 （1）延長BG交CD于Q，連PQ，BE，證明FG∥PQ，即可證得FG∥平面PCD；
（2）$λ=\frac{1}{2}$，連接AC，證明CE⊥平面PAG，即可得出平面PAG⊥平面PCE．

解答 （1）證明：延長BG交CD于Q，連PQ，BE，平行四邊形BEDC，則BE∥CQ，∴$\frac{CG}{GE}=\frac{OG}{GB}$．
 又∵PF：FB=CG：GE，則QG：GB=PF：FB，∴FG∥PQ．
∵FG?平面PCD，PQ?平面PCD．
∴FG∥平面PCD
（2）解：$λ=\frac{1}{2}$，連接AC，
因為∠BAD=120°的菱形，所以△ACE為等邊三角形，
所以CE⊥AG，
又因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CE，PA∩AG=A
所以CE⊥平面PAG，
因為CE?平面PCE，所以面PAG⊥平面PCE．

點評 熟練掌握平行線分線段成比例定理、菱形的性質、線面平行的判定定理、面面垂直的判定，屬于中檔題．