Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）滿足：
①對任意實(shí)數(shù)m，n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）?f（n）；
②對任意m∈R，都有f（1+m）=f（1-m）恒成立；
③f（x）不恒為0，且當(dāng)0＜x＜1時，f（x）＜1．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給出你的證明；
（3）定義：“若存在非零常數(shù)T，使得對函數(shù)g（x）定義域中的任意一個x，均有g(shù)（x+T）=g（x），則稱g（x）為以T為周期的周期函數(shù)”．試證明：函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，并求出$f（\frac{1}{3}）+f（\frac{2}{3}）+f（\frac{3}{3}）+…+f（\frac{2017}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （1）在等式f（m+n）+f（m-n）=2f（m）?f（n）中，令m=x₀，n=0，即可求得f（0）=1，結(jié)合f（m+n）+f（m-n）=2f（m）?f（n）、f（1+m）=f（1-m）、f（x）不恒為0，且當(dāng)0＜x＜1時，f（x）＜1即可求得f（1）的值；
（2）在f（m+n）+f（m-n）=2f（m）?f（n）中，取m=0，n=x，以及有f（0）=1，可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（3）由f（1+m）=f（1-m），并取1+m=-x，得f（-x）=f（2+x），又f（x）為偶函數(shù)，可得f（x+2）=f（x），即f（x）是以2為周期的周期函數(shù)；
在f（m+n）+f（m-n）=2f（m）?f（n）中，取$m=n=\frac{1}{3}$，取m=$\frac{2}{3}$，n=$\frac{1}{3}$得到兩個關(guān)于f（$\frac{2}{3}$）和f（$\frac{1}{3}$）的方程組，求出f（$\frac{2}{3}$）和f（$\frac{1}{3}$），再由函數(shù)的周期性求得$f（\frac{1}{3}）+f（\frac{2}{3}）+f（\frac{3}{3}）+…+f（\frac{2017}{3}）$的值．

解答 （1）解：由于f（x）不恒為0，故存在x₀，使f（x₀）≠0，令m=x₀，n=0，
則f（x₀）+f（0）=2f（x₀）f（0），∴f（0）=1，
令m=n=1⇒f（2）+f（0）=2f²（1），
由f（1+m）=f（1-m）并令m=1得：f（2）=f（0），
結(jié)合以上結(jié)果可得f²（1）=1，
又令$m=n=\frac{1}{2}，f（1）+f（0）=2f（\frac{1}{2}）?f（\frac{1}{2}）＜2$  （因?yàn)?f（\frac{1}{2}）＜1$），
∴f（1）＜1，故f（1）=-1；
（2）解：f（x）為偶函數(shù)．
證明如下：
令m=0，n=x，得：f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），以及有f（0）=1，
即有f（-x）=f（x），即有f（x）為偶函數(shù)；
（3）證明：由f（1+m）=f（1-m），并取1+m=-x，得f（-x）=f（2+x），又f（x）為偶函數(shù)，
則f（x+2）=f（x），即f（x）是以2為周期的周期函數(shù)；
令$m=n=\frac{1}{3}⇒f（\frac{2}{3}）+f（0）=2{f}^{2}（\frac{1}{3}）⇒f（\frac{2}{3}）+1=2{f}^{2}（\frac{1}{3}）$，
再令m=$\frac{2}{3}$，n=$\frac{1}{3}$⇒$f（1）+f（\frac{1}{3}）=2f（\frac{2}{3}）f（\frac{1}{3}）$⇒$-1+f（\frac{1}{3}）=2f（\frac{2}{3}）f（\frac{1}{3}）$．
而$f（\frac{2}{3}）＜1$，解得，$f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}，f（\frac{2}{3}）=-\frac{1}{2}$，
由f（1+m）=f（1-m）得，$f（\frac{1}{3}）=f（\frac{5}{3}），f（\frac{2}{3}）=f（\frac{4}{3}）$，
∴$f（\frac{1}{3}）+f（\frac{2}{3}）+f（\frac{3}{3}）+f（\frac{4}{3}）+f（\frac{5}{3}）+f（\frac{6}{3}）=0$，
又由于f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，
∴$f（\frac{1}{3}）+f（\frac{2}{3}）+f（\frac{3}{3}）+…+f（\frac{2017}{3}）=336×0+f（\frac{2017}{3}）=f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性和周期性的定義判斷函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．