Question

1．已知定義在R山的函數y=f（x）滿足f（x+1）=f（x），當0≤x＜1時，f（x）=2-x，若函數g（x）=f（x）-2a^x（a＞0，a≠1），恰有2個零點，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（\frac{1}{2}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）∪（\frac{1}{{\sqrt{2}}}，\frac{1}{{\root{3}{2}}}）$
• B． $（\frac{1}{{\sqrt{2}}}，\frac{1}{{\root{3}{2}}}）∪[2，+∞）$
• C． $（\frac{1}{2}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）∪[2，+∞）$
• D． $（\frac{1}{2}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）∪（\frac{1}{{\sqrt{2}}}，\frac{1}{{\root{3}{2}}}）∪[2，+∞）$

Answer 1

分析 函函數g（x）=f（x）-2a^x（a＞0，a≠1）的零點個數，即函數y=f（x）與y=2a^x的交點的個數，考慮特殊位置，由此求出a的取值范圍．

解答 解：根據題意，函數g（x）=f（x）-2a^x（a＞0，a≠1）的零點個數，
即函數y=f（x）與y=2a^x的交點的個數；
f（x+1）=f（x），函數f（x）是周期為1的周期函數，
又由當0≤x＜1時，f（x）=2-x，
據此a＞1時，（-1，1）代入，可得1=2a^-1，∴a=2；
0＜a＜1時，（2，1）代入，可得1=2a^-2，∴a=$\frac{1}{\sqrt{2}}$；（3，1）代入，可得1=2a^-3，∴a=$\frac{1}{\root{3}{2}}$
∵函數g（x）=f（x）-2a^x（a＞0，a≠1），恰有2個零點，
∴$（\frac{1}{{\sqrt{2}}}，\frac{1}{{\root{3}{2}}}）∪[2，+∞）$，
故選B．

點評 本題考查了函數圖象的變化與應用問題，涉及函數的周期性，對數函數的圖象等知識點，是綜合性題目．