Question

18．已知定義在R上的函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，x≤0}\\{ln（x+a），x＞0}\end{array}$，若方程f（x）=$\frac{1}{2}$有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{1}{2}$
• B． $0≤a＜\frac{1}{2}$
• C． 0≤a＜1
• D． $-\frac{1}{2}＜a≤0$

Answer 1

分析 根據條件，作出兩個函數的圖象，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：當x≤0時，a＜f（x）≤1+a，
若a≥0，當x＞0時，f（x）=ln（x+a）≥lna，
若方程f（x）=$\frac{1}{2}$有兩個不相等的實數根，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{2}≤1+a}\\{lna＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{2}}\\{a≥-\frac{1}{2}}\\{a＜\sqrt{e}}\end{array}\right.$，得$-\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{1}{2}$，
∵a≥0，∴0≤a＜$\frac{1}{2}$，
若a＜0，當x＞0時，f（x）=ln（x+a）∈R，即此時函數f（x）=$\frac{1}{2}$有一個解，
則當x≤0時，f（x）=$\frac{1}{2}$有一個解即可，
此時滿足1+a≥$\frac{1}{2}$＞a，即可，
則-$\frac{1}{2}$≤a＜0，
綜上-$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題主要考查函數與方程的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵．注意分類討論的使用．