Question

1．（1）已知數列{a_n}滿足lgx_n+1=1+lgx_n（n∈N^*）且x₁+x₂+…+x₁₀₀=1，求lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）的值；
（2）已知數列{a_n}滿足a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）數列{x_n}滿足lgx_n+1=1+lgx_n（n∈N^*），可得lg$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=1，即x_n+1=10x_n．再利用等比數列的通項公式及其性質即可得出．
（2）設b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，則S_n=2ⁿ，根據數列的遞推公式公式即可求出數列的通項公式．

解答 解：（1）∵數列{x_n}滿足lgx_n+1=1+lgx_n（n∈N^*），
∴lg$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=1，即x_n+1=10x_n．
∴數列{x_n}是公比為10的等比數列．
且x₁+x₂+x₃+…+x₁₀₀=1，
則lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）lg10¹⁰⁰（x₁+x₂+…+x₁₀₀）=lg10¹⁰⁰•1=100．
（2）設b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$
∴S_n=2ⁿ，
當n=1時，b₁=S₁=2，
當n≥2時，∴S_n-1=2^n-1，
∴b_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
令n=1時，b₁=2≠1，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2^n-1，
∴a_n=n•2^n-1，n≥2時，
當n=1時，a₁=2，
綜上所述a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{n•{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其性質、對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．