Question

8．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，M，N分別為A₁D₁和AA₁的中點，則下列四種說法中正確的個數為（　　）
①C₁M∥AC；
②BD₁⊥AC；
③BC₁與AC的所成角為60°；
④CD與BN為異面直線．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，C₁M與AC是異面直線；在②中，由AC⊥平面BDD₁，知BD₁⊥AC；在③中，由AC∥A₁C₁，BC=A₁C₁=BA₁，知BC₁與AC的所成角為60°；在④中，由CD∥AB，AB∩BN=B，知CD與BN既為異面直線．

解答 解：由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，M，N分別為A₁D₁和AA₁的中點，知：
在①中，AC∥A₁C₁，A₁C₁∩C₁M=C₁，∴C₁M與AC是異面直線，故①錯誤；
在②中，∵AC⊥DD₁，AC⊥BD，BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁，又BD?平面BDD₁，故BD₁⊥AC，故②正確；
在③中，AC∥A₁C₁，BC=A₁C₁=BA₁，∴BC₁與AC的所成角為60°，故③正確；
在④中，CD∥AB，AB∩BN=B，故CD與BN既為異面直線，故④正確．
故選：C．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置的關系的合理運用．