Question

18．如圖1，在等邊△ABC中，D，E，F分別為AB，AC，BC的中點．將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF．

（Ⅰ）證明：AF⊥BC；
（Ⅱ）當∠BFC=120°時，求二面角A-DE-F的余弦值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，在線段BC上是否存在一點N，使得平面ABF⊥平面FDN？若存在，求出$\frac{{|{BN}|}}{{|{BC}|}}$的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AF⊥BF，AF⊥FC．由此能證明AF⊥BC．
（II） 以點F為原點，在平面BCF內過點F作FC的垂線作為x軸，FC為y軸，FA為z軸，建立空間直角坐標系．利用向量法能求出二面角A-DE-F的余弦值．
（III）在平面BCF內，過F作FN⊥BF交BC于N，推導出AF⊥FN，從而FN⊥面ABF，進而面ABF⊥面DFN．由此能求出在線段BC上存在一點N，滿足面ABF⊥面DFN，且 $\frac{{|{BN}|}}{{|{BC}|}}=\frac{2}{3}$．

解答 （本題滿分9分）
證明：（Ⅰ）∵等邊△ABC，F為BC的中點，
∴AF⊥BC．
即AF⊥BF，AF⊥FC．
又∵BF∩FC=F，∴AF⊥面BCF．
又∵BC?面BCF，∴AF⊥BC．   …（3分）
解：（II） 如圖，以點F為原點，在平面BCF內過點F作FC的垂線作為x軸，FC為y軸，FA為z軸，建立空間直角坐標系．
設FC=2，則有F（0，0，0），$A（{0，0，2\sqrt{3}}）$，$B（{\sqrt{3}，-1，0}）$，C（0，2，0），
∴$D（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，\sqrt{3}}）$，$E（{0，1，\sqrt{3}}）$．
∴$\overrightarrow{FD}=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{FE}=（{0，1，\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{AD}=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{AE}=（{0，1，-\sqrt{3}}）$．
設平面DEF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
因此$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{FD}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{FE}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_1}-\frac{1}{2}{y_1}+\sqrt{3}{z_1}=0\\{y_1}+\sqrt{3}{z_1}=0.\end{array}\right.$，
令z₁=1，則$\overrightarrow{m}$=（-3，-$\sqrt{3}$，1）．
設平面ADE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
因此有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\sqrt{3}}}{2}{x_2}-\frac{1}{2}{y_2}-\sqrt{3}{z_2}=0\\{y_2}-\sqrt{3}{z_2}=0.\end{array}\right.$，
令z₂=1，則$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}$，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-11}{\sqrt{13}•\sqrt{13}}$=-$\frac{11}{13}$．
∴二面角A-DE-F的余弦值為$-\frac{11}{13}$．         …（6分）
（III）在線段BC上存在一點N，滿足面ABF⊥面DFN，且 $\frac{{|{BN}|}}{{|{BC}|}}=\frac{2}{3}$．
證明如下：
在平面BCF內，過F作FN⊥BF交BC于N，∵AF⊥面BCF，FN?面BCF，∴AF⊥FN．
又∵FN⊥BF，AF∩BF=F，∴FN⊥面ABF．
又∵FN?面DFN，∴面ABF⊥面DFN．
設FN=a，∵∠BFC=120°，BF=FC，∴∠FBC=∠FCB=30°．
又∵FN⊥BF，∴BN=2a．∵∠NFC=∠FCN=30°，
∴FN=NC=a．∴BC=3a．∴$\frac{BN}{BC}=\frac{2}{3}$．         …（9分）

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點的位置的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．