Question

13．春節是旅游消費旺季，某大型商場通過對春節前后20天的調查，得到部分日經濟收入Q與這20天中的第x天（x∈N⁺）的部分數據如表：

天數x（天）	3	5	7	9	11	13	15
日經濟收入Q（萬元）	154	180	198	208	210	204	190

（1）根據表中數據，結合函數圖象的性質，從下列函數模型中選取一個最恰當的函數模型描述Q與x的變化關系，只需說明理由，不用證明．
①Q=ax+b，②Q=-x²+ax+b，③Q=a^x+b，④Q=b+log_ax．
（2）結合表中的數據，根據你選擇的函數模型，求出該函數的解析式，并確定日經濟收入最高的是第幾天；并求出這個最高值．

Answer 1

分析 （1）由提供的數據知道，描述賓館日經濟收入Q與天數的變化關系的函數不可能為常數函數，也不可能是單調函數，故選取二次函數Q=-x²+ax+b進行描述，將（3，154）、（5，180）代入Q=-x²+ax+b，代入Q，即得函數解析式；
（2）由二次函數的圖象與性質，利用配方法可求取最值．

解答 解：（1）由提供的數據知道，描述賓館日經濟收入Q與天數的變化關系的函數不可能為常數函數，從而用四個中的任意一個進行描述時都應有，
而Q=at+b，Q=a^x+b，Q=b+log_ax三個函數均為單調函數，這與表格所提供的數據不符合，
∴選取二次函數進行描述最恰當；
將（3，154）、（5，180）代入Q=-x²+ax+b，
可得$\left\{\begin{array}{l}{154=-9+3a+b}\\{180=-25+5a+b}\end{array}\right.$，解得a=21，b=100．
∴Q=-x²+21x+100，（1≤x≤20，x∈N^*）；
（2）Q=-x²+21x+100=-（t-$\frac{21}{2}$）²+$\frac{841}{4}$，
∵1≤x≤20，x∈N^*，
∴t=10或11時，Q取得最大值210萬元．

點評 本題考查了二次函數模型的應用，考查利用二次函數的圖象與性質求函數的最值問題，確定函數模型是關鍵．