Question

1．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，點D是AB的中點．
（1）求證AC⊥BC₁
（2）求證AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用線面垂直的性質定理可得CC₁⊥AC，再利用線面垂直的判定定理即可證明結論；
（2）利用直三棱柱的性質、三角形的中位線定理即可得出ED∥AC₁，再利用線面平行的判定定理即可證明結論；

解答 證明：（1）∴CC₁⊥底面ABC
∴CC₁⊥AC…（1分）
∴AC=3  BC=4  AB=5
∴AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC…（2分）
∴AC⊥平面BCC₁B₁…（3分）
∴AC⊥BC₁…（4分）
（2）設BC₁∩B₁C=E，連接DE
∵BCC₁B₁是矩形，
∴E是BC₁的中點…（5分）
又D是AB的中點，在△ABC₁中，DE∥AC₁…（6分）
又AC₁?平面CDB₁，DE?平面CDB₁
∴AC₁∥平面CDB₁…（8分）

點評 本題主要考查了勾股定理的逆定理、線面垂直的判定和性質定理、直三棱柱的性質、正方形的性質、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理的綜合應用，考查了數形結合思想，屬于中檔題．