Question

11．如圖，GH是東西方向的公路北側的邊緣線，某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建設一倉庫，設AB=ykm，并在公路北側建造邊長為xkm的正方形無頂中轉站CDEF（其中EF在GH上），現從倉庫A向GH和中轉站分別修兩條道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60°．．
（1）求y關于x的函數解析式，并求出定義域；
（2）如果中轉站四堵圍墻造價為10萬元/km，兩條道路造價為30萬元/km，問：x取何值時，該公司建設中轉站圍墻和兩條道路總造價M最低．

Answer 1

分析 （1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，BC=2x．在△ABC中，AB=y，AC=y-1，∠ABC=60°，由余弦定理，求解函數的解析式，然后求解定義域．
（2）求出M=30•（2y-1）+40x，通過基本不等式求解表達式的最值即可．

解答 （1）在△BCF中，CF=x，∠FBC=30°，CF⊥BF，所以BC=2x．
在△ABC中，AB=y，AC=y-1，∠ABC=60°，
由余弦定理，得AC²=BA²+BC²-2BA•BCcos∠ABC，…（2分）
即 （（y-1）²=y²+（2x）²-2y•2x•cos60°，
所以  $y=\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}$．…（5分）
由AB-AC＜BC，得$2x＞1，x＞\frac{1}{2}$．又因為 $y=\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}$＞0，所以x＞1．
所以函數$y=\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}$的定義域是（1，+∞）．…（6分）
（2）M=30•（2y-1）+40x．…（8分）
因為$y=\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}$．（x＞1），所以M=30$•（2•\frac{4{x}^{2}-1}{2x-2}-1）+40x$
即 M=10$•（\frac{12{x}^{2}-3}{x-1}+4x-1）$．…（10分）
令t=x-1，則t＞0．于是M（t）=10（16t+$\frac{9}{t}+25$），t＞0，…（12分）
由基本不等式得M（t）≥10（2$\sqrt{144}+25$）=490，
當且僅當t=$\frac{3}{4}$，即x=$\frac{7}{4}$時取等號．…（15分）
答：當x=$\frac{7}{4}$km時，公司建中轉站圍墻和兩條道路最低總造價M為490萬元．…（16分）

點評 本題考查實際問題的應用，基本不等式求解表達式的最值，考查思想以及計算能力．