Question

19．設(shè)f（x）定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意m，n有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng) x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
（1）求證：f（0）=1，且當(dāng)x＞0時(shí)，有  f（x）＞1；
（2）判斷 f（x）在R上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）已知條件．通過(guò)m=1，n=0，求出f（0）=1，設(shè)m=x＜0，n=-x＞0，則f（0）=f（x）•f（-x），推出結(jié)果即可．
（2）設(shè)x₁，x₂是 R上的任意兩個(gè)值，且x₁＜x₂，則f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，x₂-x₁＞0，利用已知條件以及（1）的結(jié)果化簡(jiǎn)求解即可．

解答 證明：（1）由題意知 f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=1，n=0，則f（1）=f（1）•f（0），
因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，所以 f（0）=1，
設(shè)m=x＜0，n=-x＞0，則f（0）=f（x）•f（-x），
所以$f（x）=\frac{f（0）}{{f（{-x}）}}=\frac{1}{{f（{-x}）}}＞1$，
即當(dāng) x＜0時(shí)，有 f（x）＞1．
解：（2）設(shè)x₁，x₂是 R上的任意兩個(gè)值，且x₁＜x₂，則f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，x₂-x₁＞0，
所以0＜f（x₂-x₁）＜1，
因?yàn)閒（x₂）-f（x₁）=f（（x₂-x₁）+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）•f（x₁）-f（x₁）f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]，
且f（x₁）＞0，f（x₂-x₁）-1＜0，
∴f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
所以f（x）在R上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查單調(diào)性判斷與證明，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．