Question

11．某人上午7時，乘摩托艇以勻速vkm/h（8≤v≤40）從A港出發到距100km的B港去，然后乘汽車以勻速wkm/h（30≤w≤100）自B港向距300km的C市駛去．應該在同一天下午4至9點到達C市． 設乘坐汽車、摩托艇去目的地所需要的時間分別是xh，yh．
（1）作圖表示滿足上述條件的x，y范圍；
（2）如果已知所需的經費p=100+3（5-x）+2（8-y）（元），那么v，w分別是多少時p最小？此時需花費多少元？

Answer 1

分析 （1）由路程，速度，時間的關系得出x，y與v，w的關系式，由v，w得范圍即可得x，y的范圍，再由到達時間范圍即可得到不等式組，作圖即可；
（2）利用線性規劃知識易求．

解答 解：（1）依題意得 $y=\frac{100}{v}，x=\frac{300}{w}，8≤v≤40，30≤w≤100$，∴$3≤x≤10，\frac{5}{2}≤y≤\frac{25}{2}$①
由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+y應在9至 14個小時之間，即9≤x+y≤14②
因此，滿足①②的點（x，y）的存在范圍是圖中陰影部分（包括邊界）

（2）∵p=100+3（5-x）+2（8-y）=131-3x-2y，上式表示斜率為$-\frac{3}{2}$的直線，
當動直線p=131-3x-2y通過圖中的陰影部分區域（包括邊界），通過點A時，p值最小．
由$\left\{\begin{array}{l}x+y=14\\ x=10\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=4\end{array}\right.$，即當x=10，y=4時，p最小． 
此時，v=25，w=30，p的最小值為 93元．

點評 本題考查簡單的線性規劃的實際運用．正確建立不等式組，把實際問題轉化為數學問題是解題關鍵．屬于基礎題．