Question

2．已知集合A={x∈R|ax²+2x+1=0}，其中a∈R．
（1）1是A中的一個元素，用列舉法表示A；
（2）若A中有且僅有一個元素，求實數a的組成的集合B；
（3）若A中至多有一個元素，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若1∈A，則a=-3，解方程可用列舉法表示A；
（2）若A中有且僅有一個元素，分a=0，和a≠0且△=0兩種情況，分別求出滿足條件a的值，可得集合B．
（3）集合A中至多有一個元素包括有兩種情況，①A中有且僅有一個元素，②A中一個元素也沒有，分別求出即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）∵1是A的元素，∴1是方程ax²+2x+1=0的一個根，
∴a+2+1=0，即a=-3，
此時A={x|-3x²+2x+1=0}．
∴x₁=1，${x_2}=-\frac{1}{3}$，∴此時集合$A=\{-\frac{1}{3}，1\}$；
（2）若a=0，方程化為x+1=0，此時方程有且僅有一個根$x=-\frac{1}{2}$，
若a≠0，則當且僅當方程的判別式△=4-4a=0，即a=1時，
方程有兩個相等的實根x₁=x₂=-1，此時集合A中有且僅有一個元素，
∴所求集合B={0，1}；
（3）集合A中至多有一個元素包括有兩種情況，
①A中有且僅有一個元素，由（2）可知此時a=0或a=1，
②A中一個元素也沒有，即A=∅，此時a≠0，且△=4-4a＜0，解得a＞1，
綜合①②知a的取值范圍為{a|a≥1或a=0}

點評 本題考查的知識點是集合中元素與集合的關系，一元二次方程根的個數與系數的關系，難度不大，屬于基礎題．