Question

14．已知函數f（x）=ax²+bx+1（x∈R），（a，b為實數）．
（1）若f（1）=0，且函數f（x）的值域為[0，+∞），求f（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，若關于x方程|f（x+1）-1|=m|x-1|只有一個實數解，求實數m的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，求函數h（x）=2f（x+1）+x|x-m|+2m最小值．

Answer 1

分析 （1）利用f（1）=0得到a+b+1=0，f（x）的值域為[0，+∞），推出△=b²-4a=0，求出a，b，即可得到函數的解析式．
（2）方程|f（x+1）-1|=g（x），化為|x-1|（|x+1|-m）=0，原方程只有一解，即方程|x+1|=m，有且僅有一個等于1的解或無解，求解即可．
（3）①當x≥m時，h（x）=3x²-mx+2m，通過m≥0，m＜0，求出最小值，②當x≤m時，f（x）=x²+mx+2m
通過m≥0，m＜0，求出最小值即可．

解答 解：（1）顯然a≠0∵f（1）=0∴a+b+1=0-----------（1分）
∵x∈R，且f（x）的值域為[0，+∞）
∴△=b²-4a=0---------（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}a+b+1=0\\{b^2}-4a=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\right.\;\;\;∴f（x）={x^2}-2x+1$----------（5分）
（2）方程|f（x+1）-1|=g（x），即|x²-1|=m|x-1|，變形得|x-1|（|x+1|-m）=0，
顯然，x=1已是該方程的根，…（6分）
欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=m，有且僅有一個等于1的解或無解，…（7分）
解得m＜0．…（9分）
（3）①當x≥m時，h（x）=3x²-mx+2m
（ I）如果m≥0，$h{（x）_{min}}=h（m）=2{m^2}+2m$；        …（10分）
（ II）如果m＜0，$h{（x）_{min}}=h（\frac{m}{6}）=2m-\frac{m^2}{12}$；        …（11分）
②當x≤m時，f（x）=x²+mx+2m
（ I）如果m≥0，$h{（x）_{min}}=h（-\frac{m}{2}）=-\frac{m^2}{4}+2m$；      …（12分）
（ II）如果m＜0，$h{（x）_{min}}=h（m）=2{m^2}+2m$；        …（13分）
由于2m²+2m-$（-\frac{m^2}{4}+2m）≥0$$2m-\frac{m^2}{12}-$（2m²+2m）≤0…（15分）
所以$h{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}2m-\frac{m^2}{4}，m≥0\\ 2m-\frac{m^2}{12}，m＜0.\end{array}\right.$…（16分）

點評 本題考查二次函數的性質的綜合應用，考查分類討論思想的應用，轉化思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．