Question

9．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的正方形，AA₁=3，點(diǎn)F在棱B₁B上運(yùn)動(dòng)．
（1）若三棱錐B₁-A₁D₁F的體積為$\frac{2}{3}$時(shí)，求異面直線AD與D₁F所成的角
（2）求異面直線AC與D₁F所成的角．

Answer 1

分析 （1）求出BF=1，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AD與D₁F所成的角．
（2）求出$\overrightarrow{AC}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，-2$），利用向量法能求出異面直線AC與D₁F所成的角的大小．

解答 解：（1）∵在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的正方形，
∴${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，
∵AA₁=3，點(diǎn)F在棱B₁B上運(yùn)動(dòng)，三棱錐B₁-A₁D₁F的體積為$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{D}_{1}}$×B₁F=$\frac{{B}_{1}F}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴BF=3-2=1，
以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，
DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由A（$\sqrt{2}，0，0$），D（0，0，0），
D₁（0，0，3），F(xiàn)（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，1$），
$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{2}，0，0$），
$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，-2$），
設(shè)異面直線AD與D₁F所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{{D}_{1}F}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{{D}_{1}F}|}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°．
∴異面直線AD與D₁F所成的角為60°．
（2）C（0，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，-2$），
∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{{D}_{1}F}$=-2+2+0=0，
∴異面直線AC與D₁F所成的角為90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．