Question

18．兩個單位向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夾角為60°，點C在以O圓心的圓弧AB上移動，$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，則x+y的最大值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 本題是向量的坐標表示的應用，結合圖形，利用三角函數的性質，即可求出結果．

解答 解：∵兩個單位向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夾角為60°，點C在以O圓心的
圓弧AB上移動，$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
建立如圖所示的坐標系，則B（1，0），A（cos60°，sin60°），
即A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
設∠BOC=α，則$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$=（cosα，sinα）=（$\frac{1}{2}$x+y，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{x}{2}+y}\\{sinα=\frac{\sqrt{3}}{2}x}\end{array}\right.$∴x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinα，y=cosα-$\frac{1}{\sqrt{3}}$sinα，
∴x+y=cosα+$\frac{1}{\sqrt{3}}$sinα=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（α+60°）．
∵0°≤α≤60°，∴60°≤α+60°≤120°，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（α+60°）≤1，
故當α+60°=90°時，x+y取得最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：D．

點評 本題考查向量知識的運用，考查三角函數的性質，確定x，y的關系式是關鍵，屬于中檔題．