Question

4．對于x∈R，[x]表示不超過x的最整數，如[1.1]=1，[-2.1]=-3．定義R上的函數f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f（x），0≤x≤$\frac{1}{2}$}，則A中所有元素的和為（　　）

• A． 15
• B． 19
• C． 20
• D． 55

Answer 1

分析 根據新定義，[x]表示不超過x的最大整數，要求y=f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，需要分類討論有幾個界點x=$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$對其進行討論，從而進行求解．

解答 ∵任意x，[x]表示不超過x的最大整數，如[1，1]=1[-2，1]=-3，定義R上的函數f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，
若A={y|y=f（x），0≤x≤$\frac{1}{2}$}，
當 x∈[0，$\frac{1}{8}$ ），0≤2x＜$\frac{1}{8}$，0≤4x＜$\frac{1}{4}$，0≤8x＜1，∴f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0
當 x∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{2}{8}$ ），$\frac{1}{4}$≤2x＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$≤4x＜1，1≤8x＜2，∴f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1=1
當 x∈[$\frac{2}{8}$，$\frac{3}{8}$），$\frac{1}{2}$≤2x＜$\frac{3}{4}$，1≤4x＜$\frac{3}{2}$，2≤8x＜3，∴f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1+2=3
當 x∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{8}$），$\frac{3}{4}$≤2x＜1，$\frac{3}{2}$≤4x＜2，3≤8x＜4，∴f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1+3=4
當 x=$\frac{1}{2}$時，則f（$\frac{1}{2}$）=[2×$\frac{1}{2}$]+[4×$\frac{1}{2}$]+[8×$\frac{1}{2}$]=1+2+4=7
所以A中所有元素的和為0+1+3+4+7=15．
故選A．

點評 此題主要考查函數的值，需要分類進行討論，新定義一般需要認真讀題，理解題意，是一道基礎題．