Question

3．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）寫出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表達式；
（2）用數學歸納法證明你的猜想，并求出a_n的表達式．

Answer 1

分析 （1）先根據數列的前n項的和求得S₁，S₂，S₃，S₄，可知分母和分子分別是等差數列進而可猜想出S_n．
（2）用數學歸納法證明數列問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當n=1時，結論顯然成立，第二步，先假設當n=k+1時，有S_k=$\frac{2k}{k+1}$，利用此假設證明當n=k+1時，結論也成立即可．

解答 解：（1）：∵a₁=1，S_n=n²a_n，∴S₁=a₁=1，
當n=2時，S₂=a₁+a₂=4a₂，解得a₂=$\frac{1}{3}$，S₂=1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$，
當n=3時，S₃=a₁+a₂+a₃=9a₃，解得a₃=$\frac{1}{6}$，S₃=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
當n=4時，S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=16a₄，解得a₄=$\frac{1}{10}$，S₄=$\frac{8}{5}$，
∴S_n=$\frac{2n}{n+1}$
（2）下面用數學歸納法證
①當n=1時，結論顯然成立．
②假設當n=k時結論成立，即S_k=$\frac{2k}{k+1}$，
則當n=k+1時，則S_k+1=（k+1）²a_k+1=（k+1）²（S_k+1-S_k），
∴（k²+2k）S_k+1=（k+1）²S_k=（k+1）²$\frac{2k}{k+1}$，
∴S_k+1=$\frac{2（k+1）}{k+2}$
故當n=k+1時結論也成立．
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有S_n=$\frac{2n}{n+1}$，
∵S_n=n²a_n，
∴a_n=$\frac{{S}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{\frac{2n}{n+1}}{{n}^{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$

點評 本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n₀）成立2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切大于等于n₀的自然數n都成立．