Question

15．已知f（x）=$\frac{1}{x}$-2x．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在（0，+∞）上的單調性并證明．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性的定義進行證明即可．
（2）根據函數單調性的定義進行證明即可．

解答 解：（1）函數的定義域為{x|x≠0}，
則f（-x）=-$\frac{1}{x}$+2x=-（$\frac{1}{x}$-2x）=-f（x），
則函數f（x）是奇函數．
（2）證明：設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-2x₁-（$\frac{1}{{x}_{2}}$-2x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$-2（x₁-x₂）=（x₂-x₁）•（2+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵x₂-x₁＞0，2+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
則函數f（x）在（0，+∞）上的單調遞減．

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，利用函數單調性和奇偶性的定義是解決本題的關鍵．