Question

18．甲、乙兩地相距400千米，一汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/時．已知該汽車每小時的運輸成本t（元）關于速度x（千米/時）的函數關系式是t=$\frac{1}{19200}$x⁴-$\frac{1}{160}$x³+15x．
（1）當汽車以60千米/時的速度勻速行駛時，全程運輸成本為多少元？
（2）為使全程運輸成本最少，汽車應以多少速度行駛？并求出此時運輸成本的最小值．

Answer 1

分析 （1）全程運輸成本=$\frac{400}{60}$×$（\frac{1}{19200}×6{0}^{4}-\frac{1}{160}×6{0}^{3}+15×60）$元．
（2）全程運輸成本f（x）=$\frac{400}{x}$•（$\frac{1}{19200}$x⁴-$\frac{1}{160}$x³+15x）=$\frac{1}{48}{x}^{3}$-$\frac{5}{2}{x}^{2}$+6000．（0＜x≤100）．利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）全程運輸成本=$\frac{400}{60}$×$（\frac{1}{19200}×6{0}^{4}-\frac{1}{160}×6{0}^{3}+15×60）$=1500元．
（2）全程運輸成本f（x）=$\frac{400}{x}$•（$\frac{1}{19200}$x⁴-$\frac{1}{160}$x³+15x）=$\frac{1}{48}{x}^{3}$-$\frac{5}{2}{x}^{2}$+6000．（0＜x≤100）．
f′（x）=$\frac{1}{16}{x}^{2}$-5x=$\frac{x（x-80）}{16}$=0，解得x=80．
∴汽車應以80千米/時速度行駛時，使得運輸成本取得最小值，f（80）=$\frac{2000}{3}$元．
答：（1）當汽車以60千米/時的速度勻速行駛時，全程運輸成本為1500元．
（2）為使全程運輸成本最少，汽車應以80千米/時速度行駛，使得運輸成本取得最小值$\frac{2000}{3}$元．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、函數求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．