Question

8．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a＞0）
（1）若f（x）在x=2處的切線與直線 3x-2y+1=0平行，求f（x）的單調區間
（2）求f（x）在區間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據導數的幾何意義即可求出a的值，再求出函數的定義域，求出導函數，令導函數大于0，求出x的范圍，寫出區間形式即得到函數f（x）的單調增區間．
（2）求出導函數，令導函數為0求出根，通過討論根與區間[1，2]的關系，判斷出函數的單調性，求出函數的最小值．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，a＞0，x＞0
由f（x）在x=2處的切線與直線3x-2y+1=0平行，則f′（2）=$\frac{4-a}{2}$=$\frac{3}{2}$，a=1，
此時f（x）=x²-lnx，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$
令f′（x）=0得x=1
f（x）與f′（x）的情況如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	$\frac{1}{2}$	↗

所以，f（x）的單調遞減區間是（0，1），單調遞增區間是（1，+∞），
（2）由a＞0及定義域為（0，+∞），令f′（x）=0得x=$\sqrt{a}$
①若$\sqrt{a}$≤1即0＜a≤1在[1，2]上，f′（x）＞0，
f（x）在[1，2]上單調遞增，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$；
②若1＜$\sqrt{a}$＜2，即1＜a＜4在[1，$\sqrt{a}$）上，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；在（$\sqrt{a}$，2]上，f′（x）＞0，
f（x）單調遞增，因此在[1，2]上，f（x）_min=f（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{2}$a（1-lna）；
③若$\sqrt{a}$≥2，即a≥4在[1，2]上，f′（x）＜0，
f（x）在[1，2]上單調遞減，f（x）_min=f（2）=2-aln2
綜上，當0＜a≤1時，f（x）_min=$\frac{1}{2}$；
當1＜a＜4時，f（x）_min=$\frac{1}{2}$a（1-lna）；
當a≥4時，f（x）_min=2-aln2．

點評 本題考查函數的單調區間的求法、利用導數求閉區間上函數的最值，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行分類討論思想和等價轉化思想進行解題．