Question

18．已知二次函數f（x）滿足f（2）=-1，f（-1）=-1，且f（x）的最大值為8．
（1）求二次函數解析式；
（2）求x∈[m，3]（m＜3）時函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）設出二次函數的解析式，代入坐標求解a即可得到二次函數的解析式．
（2）利用二次函數的對稱軸以及性質求出函數的最小值即可．

解答 解：（1）由題意二次函數f（x）滿足f（2）=-1，f（-1）=-1，
可知二次函數可設為$f（x）=-a{（x-\frac{1}{2}）^2}$+8，把f（2）=1代入
可解得a=4，所以$f（x）=-4{（x-\frac{1}{2}）^2}+8=-4{x^2}$+4x+7
（2）當m≤-2時，函數f（x）的左端點離對稱軸x=$\frac{1}{2}$遠，
所以f（x）_min=f（m）=-4m²+4m+7；
當3≥m＞2時，函數f（x）的右端點離對稱軸遠，
所以f（x）_min=f（3）=-17；
所以f（x）_min=$\left\{{\begin{array}{l}{-4{m^2}+4m+7，m≤-2}\\{-17，2＜m≤3}\end{array}}$．

點評 本題考查二次函數的解析式的求法，二次函數的性質的應用，考查計算能力．