Question

9．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=135°，∠ADC=120°，∠BCD=45°，∠ABC=60°，BC=$\sqrt{3}$，則線段AC長度的取值范圍是（　　）

• A． $[{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$
• B． $[{\frac{3}{2}，\sqrt{3}}）$
• C． $（{\sqrt{2}，\sqrt{3}}）$
• D． $（{\frac{3}{2}，\sqrt{3}}）$

Answer 1

分析 在△ABC中，由由正弦定理可得：AC=$\frac{BCsin60°}{sinA}$=$\frac{\frac{3}{2}}{sinA}$≥$\frac{3}{2}$．由∠BCD=45°，∠B=60°，可得∠BAC＞75°，可得AC＜BC，即可得出．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理可得：AC=$\frac{BCsin60°}{sinA}$=$\frac{\frac{3}{2}}{sinA}$≥$\frac{3}{2}$，
當A=90°時取等號，滿足條件．
∵∠BCD=45°，∴∠ACB＜45°，
又∠B=60°，
∴∠BAC＞180°-45°-60°=75°，
∴AC＜BC=$\sqrt{3}$．
綜上可得：AC∈[$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$），
故選：B．

點評 本題考查了正弦定理、三角形邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．