Question

20．等腰直角三角形AOB內接于拋物線y²=2px（p＞0），O為拋物線的頂點，OA⊥OB，△AOB的面積是16，拋物線的焦點為F，若M是拋物線上的動點，則$\frac{|OM|}{|MF|}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 設等腰直角三角形OAB的頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用OA=OB可求得x₁=x₂，進而可求得AB=4p，從而可得S_△OAB．設過點N的直線方程為y=k（x+1），代入y²=4x，過M作準線的垂線，垂足為A，則|MF|=|MA|，考慮直線與拋物線相切及傾斜角為0°，即可得出p．設M 到準線的距離等于d，由拋物線的定義，化簡為 $\frac{|OM|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}p9vv5xb5$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+4m}{（m+1）^{2}}}$，換元，利用基本不等式求得最大值．

解答 解：設等腰直角三角形OAB的頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂．
由OA=OB得：x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，
∴x₁²-x₂²+2px₁-2px₂=0，即（x₁-x₂）（x₁+x₂+2p）=0，
∵x₁＞0，x₂＞0，2p＞0，
∴x₁=x₂，即A，B關于x軸對稱．
∴直線OA的方程為：y=xtan45°=x，
與拋物線聯立，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2p}\\{y=2p}\end{array}\right.$，
故AB=4p，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2p×4p=4p²．
∵△AOB的面積為16，∴p=2；
焦點F（1，0），設M（m，n），則n²=4m，m＞0，設M 到準線x=-1的距離等于d，
則$\frac{|OM|}{|MF|}$=$\frac{|MO|}p9vv5xb5$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+4m}{（m+1）^{2}}}$．
令 m+1=t，t＞1，則$\frac{|OM|}{|MF|}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（當且僅當 t=3時，等號成立）．
故 $\frac{|OM|}{|MF|}$的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選C．

點評 本題考查拋物線的簡單性質，求得A，B關于x軸對稱是關鍵，考查拋物線的定義，基本不等式的應用，體現了換元的思想，正確運用拋物線的定義是關鍵，屬于難題．