Question

7．已知函數f（x）=|x²-ax|（a∈R）．
（1）當$a=\frac{2}{3}$時，寫出函數f（x）的單調區間（不要求證明）；
（2）記函數f（x）在區間[0，1]上的最大值為g（a），求g（a）的表達式，并求g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）將a的值代入f（x），求出f（x）的單調區間即可；
（2）通過討論a的范圍，去掉絕對值號，根據a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數f（x）在閉區間的最大值g（a），求出g（a）的最小值即可．

解答 解：（1）當$a=\frac{2}{3}$時，f（x）的單調遞增區間為$（0，\frac{1}{3}]$和$[\frac{2}{3}，1]$，單調遞減區間為$（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$；
（2）當a≤0時，f（x）=|x²-ax|=x²-ax在區間[0，1]上為增函數，
當x=1時，f（x）取得的最大值為f（1）=1-a；
當0＜a＜1時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+ax，0＜x＜a\\{x}^{2}-ax，a≤x＜1\end{array}\right.$，
在區間$（0，\frac{a}{2}）$上遞增，在$[\frac{a}{2}，a]$上遞減，在（a，1]上遞增，
且f$（\frac{a}{2}）=\frac{{a}^{2}}{4}$，f（1）=1-a，
∵$\frac{{a}^{2}}{4}$-（1-a）=$\frac{1}{4}$（a²+4a-4），
∴當0＜a＜2$\sqrt{2}$-2時，$\frac{{a}^{2}}{4}$＜1-a；
當2$\sqrt{2}$-2≤a＜1時，$\frac{{a}^{2}}{4}$≥1-a．
當1≤a＜2時，f（x）=-x²+ax在區間$（0，\frac{a}{2}）$上遞增，在區間$（\frac{a}{2}，1）$上遞減，
當x=$\frac{a}{2}$時，f（x）取得最大值f$（\frac{a}{2}）=\frac{{a}^{2}}{4}$；
當a≥2時，f（x）=-x²+ax在區間[0，1]上遞增，
當x=1時，f（x）取得最大值f（1）=a-1．
則g（a）=$\left\{\begin{array}{l}1-a，a＜2\sqrt{2}-2\\ \frac{{a}^{2}}{4}，2\sqrt{2}-2≤a＜2\\ a-1，a≥2\end{array}\right.$．
g（a）在（-∞，2$\sqrt{2}$-2）上遞減，在[2$\sqrt{2}$-2，+∞）上遞增，
即當a=2$\sqrt{2}$-2時，g（a）有最小值為3-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查分類討論思想以及絕對值問題，是一道綜合題．